Problème résolu (par hasard) et pour ceux qui repasserait par ici : le souci venait du "Relais privé" Apple activé avec l'offre payante iCloud.
Je suis passé à un autre service cloud (marre des soucis de synchro avec iCloud Drive) et j'ai donc résilié mon abonnement iCloud (revenu à 5 Go). L'option n'étant plus disponible, tous mes soucis de connexion ont disparu. J'en déduis que cela venait de là.
