Je crois que tu mélanges tout entre une connexion derrière un modem et une connexion à un Hotspot.
Tu dois rentrer des identifiants quand tu te connectes à un "wifi public", mais pas pour te connecter chez toi, à une Livebox.
Le fait que, en DHCP, tu accèdes à Free wifi, montre que ta carte wifi fonctionne.
Ta connexion en IP fixe semble fonctionner également, car ça te dit "connecté à Internet".
Resterais l'hypothèse, peu probable (mais déjà vue) que le serveur DNS de la Livebox ne fonctionne pas pour cette carte.
Pour tester ça, saisis
http://173.194.67.147 dans la barre d'adresse, et vois si tu arrives sur Google.
Si oui, alors dans ta configuration en IP fixe, remplace dans serveur DNS, 192.168.1.1 par 8.8.8.8 + 8.8.4.4
Ou : 80.10.246.2 et 80.10.246.129, qui sont des DNS d'Orange.