P: Non, je ne peux pas trouver ces deux nombres.
Ceci signifie que le produit P peut se décomposer d'au moins deux manières différentes en produit de deux nombres compris entre 2 et 20. Par exemple, on ne pourrait pas avoir P = 15, car il se décompose de façon unique en 3*5.
Voici une liste de valeurs que nous pouvons d'ores et déjà éliminer :
- toute valeur inférieure à 22=4 ou supérieure à 202=400
- le produit de deux nombres premiers (par exemple 77 = 7*11)
- le cube d'un nombre premier (par exemple 64 = 4*16)
- le double du carré d'un premier plus grand que 5 (par exemple, 50 = 2*5*5 = 10*5 : la décomposition en 2*25 est impossible)
- et bien d'autres...
S : je le savais
Ceci signifie que la somme S ne peut pas s'écrire comme somme de deux nombres dont le produit aurait été éliminé dans l'étape précédente.
Par exemple, la somme 11 convient car tous les produits possibles sont "non uniques" :
11 = 2+9 ; 2*9 = 18 = 3*6
11 = 3+8 ; 3*8 = 24 = 2*12 = 4*6
11 = 4+7 ; 4*7 = 28 = 2*14
11 = 5+6 ; 5*6 = 30 = 2*15 = 3*10
En revanche, la somme 13 ne convient pas car : 13 = 2+11 ; 2*11 = 22 (pas d'autre décomposition)
Par conséquent, on peut commencer par éliminer toutes les sommes de deux nombres premiers. Vous pouvez vérifier que cela élimine déjà toutes les sommes paires (ceci a été conjecturé par Goldbach dans le cas général, et vérifié par ordinateur sur beaucoup plus de nombres que ce dont on a besoin pour résoudre ce problème).
Pour ce qui est des sommes impaires, on élimine celles qui sont égales à un nombre premier plus 2 : 5 (3+2), 7(5+2), 9(7+2), 13 (11+2), etc.
Voici donc la liste exhaustive des sommes possibles à cette étape du raisonnement, avec pour chaque somme la liste des produits possibles.
11 : 18 24 28 30
17 : 30 42 52 60 66 70 72
23 : 42 60 76 90 102 112 120 126 130 132
27 : 50 72 92 110 126 140 152 162 170 176 180 182
29 : 54 78 100 120 138 154 168 180 190 198 204 208 210
35 : 66 96 124 150 174 196 216 234 250 264 276 286 294 300 304 306
37 : 70 102 132 160 186 210 232 252 270 286 300 312 322 330 336 340 342
P: Dans ce cas, je connais les deux nombres.
Pour que P puisse faire cette affirmation, il faut que le produit P se trouve une fois et une seule dans la liste que nous venons d'écrire.
Cela élimine donc les produits P = 30 (S = 11 ou 17), etc.
Il reste:
11 : 18 24 28
17 : 52
23 : 76 112 130
27 : 50 92 110 140 152 162 170 176 182
29 : 54 100 138 154 168 190 198 204 208
35 : 96 124 174 216 234 250 276 294 304 306
37 : 160 186 232 252 270 336 340
S: Alors moi aussi.
Pour que S puisse dire cela, il faut qu'il ne reste plus qu'un seul produit correspondant à la somme qu'elle connaît. Ceci n'est réalisé que si la somme est 17, auquel cas le produit est 52.
Les nombres de départ sont donc 4 et 13.
